不思議な「数」の世界。
今回は、安全素数とソフィー・ジェルマン素数について紹介します。
安全素数とは？
定義
pと2p+1がともに素数であるとき、2p+1を安全素数という。
例①
「5」は安全素数である。
p=2とすると、2p+1=2×2+1=5。p=2は素数で、5も素数なので、5は安全素数である。
例②
「11」は安全素数である。
p=5とすると、2p+1=2×5+1=11。p=5は素数で、11も素数なので、11は安全素数である。
ソフィー・ジェルマン素数とは？
定義
pと2p+1がともに素数であるとき、pを安全素数という。
例①
「2」はソフィー・ジェルマン素数である。
p=2とすると、2p+1=2×2+1=5。p=2は素数で、5も素数なので、2はソフィー・ジェルマン素数である。
例②
「11」はソフイ−・ジェルマン素数である。
p=11とすると、2p+1=2×11+1=23。p=11は素数で、23も素数なので、11はソフィー・ジェルマン素数である。
未解決問題
① 安全素数が無数に存在するかどうかは、誰にも分かっていません。
② ソフィー・ジェルマン素数が無数に存在するかどうか、誰にも分かっていません。
安全素数の性質
安全素数には、以下のような性質があります。
① 5以外の安全素数は、4で割ると3余る。
② 7以外の安全素数は、3で割ると2余る。
③ ①、②から、7より大きな安全素数は、12で割ると11余る。
④ 5と11を除く安全素数の一の位は、3、7、9のいずれかである。
ソフィー・ジェルマン素数の性質
① 2と3を除くソフィー・ジェルマン素数は、6n-1の形の素数である。
② 2と5を除くソフィー・ジェルマン素数の一の位は、1、3、9のいずれかである。
③ ソフィー・ジェルマン素数pが、4で割ると3余るとき、その時の安全素数（2p+1）は、メルセンヌ数2p-1の約数となる。
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