不思議な「数」の世界。
今回は、社交数について紹介します。
社交数とは？
定義
異なる3つ以上の自然数の組で、ある数Aの自身を除いた約数の和が他の数Bになり、Bの自身を除いた約数の和が他の数Cになる、ということを続けて行った場合に、元の数Aに戻るような数の組のことを言う。
例
「12496」と「14288」と「15472」と「14356」と「14264」は5個組の社交数である。
12496 の自身を除いた約数は 1, 2, 4, 8, 11, 16, 22, 44, 71, 88, 142, 176, 284, 568, 781, 1136, 1562, 3124, 6248 で、和は 14288 である。
14288 の自身を除いた約数は 1, 2, 4, 8, 16, 19, 38, 47, 76, 94, 152, 188, 304, 376, 752, 893, 1786，3572, 7144 で、和は 15472 である。
15472 の自身を除いた約数は 1, 2, 4, 8, 16, 967, 1934, 3868, 7736 で、和は 14536 である。
14536 の自身を除いた約数は 1, 2, 4, 8, 23, 46, 79, 92, 158, 184, 316, 632, 1817, 3634, 7268 で、和は 14264 である。
14264 の自身を除いた約数は 1, 2, 4, 8, 1783, 3566, 7132 で、和は 12496 である。
未解決問題
現在発見されいてる社交数は、4個組が161組、6個組が5組、8個組が2組、5個組が1組、9個組が1組、28個組が1組です。
これ以外の組数については、社交数が発見されていません。
3個組、7個組、10個組の社交数は存在するか？
何個組までの社交数が在するか？
社交数は無限に在するか？
28個組の社交数
参考までに、28個組の社交数を記載します。興味がある方は、約数を取り出して和を計算してみてください。
「14316」,「19116」,「31704」,「47616」,「83328」,「177792」,「295488」,「629072」,「589786」,「294896」,「358336」,「418904」,「366556」,「274924」,「275444」,「243760」,「376736」,「381028」,「285778」,「152990」,「122410」,「97946」,「48976」,「45946」,「22976」,「22744」,「19916」,「17716」
完全数、友愛数、社交数の関係
完全数
自身以外の正の約数の総和が、自身に一致する数
友愛数
異なる2つの自然数の組で、自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなる組のこと
社交数
異なる3つ以上の自然数の組で、ある数Aの自身を除いた約数の和が他の数Bになり、Bの自身を除いた約数の和が他の数Cになる、ということを続けて行った場合に、元の数Aに戻るような数の組
つまり、完全数は「1組の社交数」、友愛数は「2組の社交数」という事ができます。
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