中学数学の関数の解き方｜比例・反比例・一次関数・二次関数の基本

　関数は、中学数学で「数量の変化」を考える単元です。

　比例・反比例・一次関数・二次関数では、表、式、グラフを使って、2つの数量の関係を整理します。

　関数が苦手な人は、式の意味やグラフの読み方があいまいなまま問題を解いていることが多いです。

　このページでは、比例・反比例・一次関数・二次関数の基本、変化の割合、グラフの読み方、よくあるミスを確認しながら、どこまで復習すればよいかを整理します。

このページで学ぶこと

　このページでは、中学数学で学ぶ関数について、基本の考え方を整理します。

　関数では、xの値が変わると、それにともなってyの値が変わる関係を考えます。

　中学数学では、比例、反比例、一次関数、二次関数を学びます。どれも、表、式、グラフを使って数量の関係を表すことが大切です。

　関数は、計算だけでなく、グラフを読む力や、文章から式を作る力も必要になります。まずは基本の形を確認しながら、少しずつ慣れていきましょう。

関数が苦手になる主な原因

　関数が苦手になる原因の1つは、表、式、グラフを別々のものとして覚えてしまうことです。

　関数では、同じ関係を表、式、グラフの3つの形で表します。このつながりが分からないと、問題ごとに何をすればよいか分からなくなります。

　また、比例、反比例、一次関数、二次関数の違いがあいまいなままだと、式の形やグラフの形を混同しやすくなります。

　関数では、計算力だけでなく、グラフから情報を読み取る力も必要です。まずは、式とグラフが何を表しているのかを確認することが大切です。

関数で大切なルール

　関数では、まず「xの値が決まると、それに対応してyの値が決まる」という考え方を理解しましょう。

　比例は、y=ax の形で表されます。グラフは原点を通る直線になります。

　反比例は、y=a/x の形で表されます。グラフは直線ではなく、なめらかな曲線になります。

　一次関数は、y=ax+b の形で表されます。グラフは直線になり、aは変化の割合、bはy軸との交点を表します。

　二次関数は、中学数学では主に y=ax² の形で学びます。グラフは直線ではなく、放物線になります。

　関数では、式だけを覚えるのではなく、式の形とグラフの形をセットで確認することが大切です。

比例・反比例・一次関数・二次関数の違い

　比例、反比例、一次関数、二次関数は、どれもxとyの関係を表すものですが、式の形とグラフの形が異なります。

　比例は y=ax の形で表され、xが2倍、3倍になると、yも2倍、3倍になります。グラフは原点を通る直線です。

　反比例は y=a/x の形で表され、xが2倍、3倍になると、yは1/2倍、1/3倍になります。グラフは直線ではなく曲線です。

　一次関数は y=ax+b の形で表され、一定の割合でyが増えたり減ったりします。グラフは直線ですが、比例と違って原点を通るとは限りません。

　二次関数は、中学数学では y=ax² の形で学びます。xの値が変わると、yの値は直線的ではなく、平方に関係して変化します。グラフは放物線になります。

　式の形、グラフの形、変化の仕方を比べながら整理すると、違いが分かりやすくなります。

変化の割合とグラフの読み方

　関数では、変化の割合やグラフの読み方を理解することが大切です。

　変化の割合とは、xがどれだけ変わったときに、yがどれだけ変わるかを表すものです。

　一次関数 y=ax+b では、aが変化の割合を表します。グラフでは、直線の傾きとして見ることができます。

　また、bはグラフがy軸と交わる点を表します。これを切片といいます。

　二次関数では、一次関数のように変化の割合がいつも一定になるわけではありません。グラフの形や、xとyの対応を表で確認することが大切です。

　グラフを読むときは、傾き、切片、通る点、座標、変化の仕方を確認しましょう。表、式、グラフを行き来できるようになると、関数の問題が解きやすくなります。

二次関数で大切なこと

　二次関数は、中学数学では主に y=ax² の形で学びます。

　一次関数のグラフは直線ですが、二次関数のグラフは放物線になります。この違いをまず確認しましょう。

　y=ax² では、aの値によってグラフの開く向きや開き方が変わります。aが正のときは上に開き、aが負のときは下に開きます。

　また、xの値が正でも負でも、x²は同じ値になることがあります。たとえば、x=2 と x=-2 では、どちらも x²=4 になります。

　二次関数では、表を作ってxとyの対応を確認し、グラフの形をイメージすることが大切です。

関数でよくあるミス

　関数では、式の形やグラフの読み取りを間違えることでミスが起こりやすくなります。

　特に多いのは、比例と一次関数を混同するミスです。比例のグラフは原点を通りますが、一次関数のグラフは原点を通るとは限りません。

　また、変化の割合と切片を取り違えるミスもよくあります。y=ax+b の a と b がそれぞれ何を表しているのかを確認しましょう。

　二次関数では、一次関数と同じように直線のグラフだと思ってしまうミスがあります。y=ax² のグラフは放物線になることを確認しましょう。

　グラフから式を求める問題では、通る点の座標を読み間違えることがあります。目盛りを丁寧に確認し、x座標とy座標を逆にしないようにしましょう。

　文章題では、何をx、何をyにするのかを整理してから式を作ることが大切です。

関数はどこまでできればよい？

　関数は、学力や目標によって復習する範囲を分けると進めやすくなります。

　まずは、比例、反比例、一次関数、二次関数の式の形とグラフの形を確認しましょう。基本の形が分かると、問題の見通しが立てやすくなります。

　次に、表、式、グラフを使って、xとyの関係を整理する練習をします。変化の割合、切片、通る点を使って式を求める問題にも取り組みましょう。

　入試応用では、グラフと図形を組み合わせた問題や、動点、面積、料金、速さなどを扱う文章題も出てきます。基本の読み取りを正確にしたうえで、応用問題に進みましょう。

練習プリントで復習する

　関数は、式だけでなく、表やグラフを使ってくり返し練習することが大切です。

　基礎確認プリントでは、比例、反比例、一次関数、二次関数の式の形や、基本的なグラフの読み取りを確認します。

　標準練習プリントでは、変化の割合、切片、通る点から式を求める問題や、二次関数のグラフを読み取る問題に取り組みます。

　入試応用プリントでは、グラフと図形を組み合わせた問題や、動点、面積、料金、速さなどの問題に挑戦します。

関連ページ

　関数を理解するには、前後の単元とのつながりを意識することが大切です。

　関数では、文字式や方程式の考え方を使います。式を作ることや、代入して値を求めることが不安な場合は、先に復習しておきましょう。

　また、関数は図形問題や入試応用問題にもつながります。グラフと図形を組み合わせた問題では、図形の性質を使って考えることもあります。

まとめ

　関数は、xとyの関係を表、式、グラフで整理する単元です。

　比例、反比例、一次関数、二次関数は、それぞれ式の形とグラフの形が異なります。まずは、それぞれの違いを確認しましょう。

　一次関数では、変化の割合と切片を理解することが大切です。グラフを読むときは、傾き、切片、通る点に注目しましょう。

　二次関数では、y=ax² の式と放物線のグラフを結びつけて考えることが大切です。aの値によって、グラフの開く向きや開き方が変わります。

　関数は、文章題、図形問題、入試応用問題にもつながります。式とグラフを行き来しながら、数量の関係を整理する力を身につけていきましょう。